Pūnaha o te whārite taurangi irarangi. Ngā pūnaha hiko o te whārite taurangi irarangi

Hoki ana i te kura, ka akohia e ia takitahi nga whainga me te, pea, he raupapa o nga whārite. Engari kaore te nuinga o te iwi i mohio he maha nga huarahi hei whakaoti i aua mea. I tenei ra ka tino matapakihia e tatou nga tikanga katoa mo te whakaoti i te raupapa o nga wharangi irarangi irarangi e uru atu ana i te rua tau.

Hītori

I tenei wa, e mohiotia ana ko te toi o te whakaoti i nga whārite me o raatau punaha i ahu mai i Papurona me Ihipa. Heoi, i te ahua o te tohu o te inerite "=", ko te rite i roto i to ratau ahua mo te ahua i puta mai i te tau 1556 na te Pakeha matatiki reo Ingarihi. I te ara, i tohuhia tenei tohu mo tetahi take: ko te tikanga o nga waahanga e rua rite ana. A he pono e kore e taea te whakaarohia te tauira pai o te ineritetanga.

Ko te kaiwhakarewa o pū hou me te tohu o te whānuitanga unknown, te mathematician French Fransua Viet. Engari, he tino rereke nga ingoa o tenei ra. Hei tauira, ko te tapawha o te tau kore i tohuhia e te reta Q (Latin "quadratus"), me te pouaka i te reta C (Latin "pene"). Ko enei ingoa kaore e ahuareka ana, engari ko te huarahi tino whakamahara ki te tuhi i nga pūnaha o te whārite taurangi irarangi.

Engari, ko te kino i roto i nga tikanga o te tukanga ko nga kaihanga matai ka whakaarohia he pakiaka pai. Mahalo ko te mea tenei kaore i whai hua nga uara kino. Engari, ko nga mathematician Italian Niccolo Tartaglia, ko Gerolamo Cardano me Rafael Bombelli i te rautau 16 te tuatahi ki te whakaaro i nga pakiaka kino. Ko te kanohi hou, te tikanga taketake mō te whakaoti whārite pūrua whakapumautia (i roto i discriminant) i anake i roto i te rau tau 17 i roto i te mahi o Descartes me Newton.

I waenganui o te rau tau 1800, ka kitea e te tohunga matatiki a Gabriel Kramer he huarahi hou hei whakaoti ake i nga raupapa whakaoti rapanga. I whakahuatia tenei tikanga i muri ia ia, a tae noa mai ki tenei ra kei te whakamahia e matou. Engari ka korero tatou mo te tikanga a Cramer i muri iho, engari mo tenei wa, ka whakawhitihia e tatou nga whakawhitinga raupapa me nga tikanga mo te whakaoti i a raatau i te punaha.

Ngā whārite raina

Ko nga whārite raina ko nga whārite māmā me te taurangi (s). Kua tohua ratou hei taurangi. whārite rārangi tuhituhia i roto i te puka whānui e whai ake: he ₁ * x ₁ + he _{2 *} x ₂ + ... me _n * x _n = b. Ko te tohu mo enei i roto i tenei ahua ka hiahiatia mo te kohikohi i nga puna me nga matrices.

Pūnaha o te whārite taurangi irarangi

Ko te whakamaramatanga o tenei wa ko: ko te kohinga o nga whārite he maha nga mea e mohiotia ana me te otinga noa. Hei tikanga, i te kura, i whakatauhia nga mea katoa e nga punaha e rua, e toru ranei nga wharite. Engari he pūnaha e wha, neke atu rānei nga waahanga. Kia titiro tuatahi ki te tuhi ki a ratau kia pai ai ki te whakaoti i te wa kei mua. Tuatahi, ka pai ake nga raupapa o te wharangi irarangi ahorangi mehemea ka tuhia nga taurangi katoa ki te x me te taurangi taurangi: 1,2,3 me te pera. Tuarua, kia arahi ai nga whārite katoa ki te puka kēnana: he ₁ * x ₁ + he _{2 *} x ₂ + ... me _n * x _n = b.

I muri i enei mahi katoa, ka taea e maatau ki te korero me pehea e kitea ai he otinga ki nga pūnaha o te whārite raupapa. He tino nui mo tenei ka hiahiatia e mätou.

Ngā matū

Ko te papapu he papa e takoto ana i nga rarangi me nga pou, a, i to raatau waahanga ko nga mea timatanga. Ko tenei pea he uara motuhake ranei he taurangi. I roto i te nuinga o te wā, ki te tautapa i ngā āhuatanga e kua whakaritea i raro i te hauraro (hei tauira, he _{11 23} ranei te pai). Ko te taurangi tuatahi ko te rarangi rarangi, me te tuarua ko te pouwae. I runga i nga maturuturu, me era atu atu momo matatiki, ka taea e koe te whakahaere i nga mahi rereke. Na, ka taea e koe:

1) Tangohia me te tāpiri i nga ripanga rahi.

2) Whakanuihia te pihikete e te maha, te vector ranei.

3) Whakawhiti: tahuri nga rarangi o te matrix ki nga pou, me nga pou - i nga raina.

4) Whakanuia nga matrices mēnā he rite te maha o nga rarangi o tetahi o ratou i te maha o nga pou o tetahi atu.

Ka whakawhitiwhiti whakaarohia enei tikanga katoa, no te mea ka whai hua ki a tatou i te wa kei te heke mai. He tino māmā te tangohanga me te whakawhitinga o nga matrices. Mai i te mea e mau ana tatou i nga matrices o te rahi te rahi, ko ia huānga o tetahi tepu e hāngai ana ki ia ohanga o tera atu. Na tenei ka tapiritia e tatou (tangohia) enei mea e rua (he mea nui kia tu i runga i nga waahanga kotahi i roto i o raanei). I te whakanui i te matae i te tau, i te vector ranei, ka whakarahihia e koe nga waehanga o te irahanga na taua tau (he vector). Ko te whakawhitinga he tikanga tino pai. He mea tino pai i etahi wa ki te kite i roto i te ora tonu, hei tauira, ka huri i te waahanga o te papapu, o te waea ranei. Ko nga tohu i runga i te papamahi he mahanga, a, ka huri te waahi, ka hurihia, ka nui ake, engari ka heke iho.

Kia titiro tatou atu he tukanga pērā i kopu whakareatanga. Ahakoa kaore e tae mai ana, ka whai hua tonu ki te mohio. Whakauruhia kia rua nga matiriki ka rite te maha o nga pou o tetahi tepu ki te maha o nga rarangi o tetahi atu. I tenei wa, ka tangohia e matou nga huinga o te raina o tetahi piupiu me nga mea timatanga o te pourangi o tetahi atu. Tini ratou ki ētahi atu, me te ka ia moni (i.e., hei tauira, ka waiho he hua o ngā āhuatanga ₁₁ me _12, me i _{te 12} b, me ₂₂ b rite ki: he * b _{11 12} + ₁₂ * b me _22). Ko te kupu tenei, ka whiwhi tetahi o nga mea o te tepu, a, ka whakakiia ano te tikanga ano.

Na, ka taea e tatou te timata ki te whakaaro me pehea te whakataunga o te raupapa o te wharangi raupapa.

Ko te huarahi Gauss

Ka timata te kaupapa nei ki te mahi i te kura. E mohio ana matou ki te ariā o "te pūnaha o te whārite raupapa e rua" pai, ka taea te whakaoti. Engari, mehemea he nui ake te tau o nga whaitua i te rua? Te reira e tauturu ia tatou Gauss tikanga.

Ko te tikanga, he waatea ki te whakamahi i tenei tikanga mēnā ka hangahia e mätou he whänau mai i te pünaha. Engari kaore e taea e koe te huri me te whakaoti i tona ahua ma.

Na me pehea te whakaoti i te tikanga o te hanganga raupapa o Gauss? I te ara, ahakoa i huaina tenei tikanga i muri ia ia, engari i kitea i nga wa o mua. Ka whakaatu a Gauss i nga mea e whai ake nei: ki te mahi i nga mahi me nga whārite, kia tae ai ki te whakahaere i te katoa ki te ahua rereke. Koinei, he mea tika mai i runga ki raro (ki te tika te whakarite) mai i te whakawhitinga tuatahi ki te whakamutunga ka whakahekehia e tetahi unknown. I etahi atu kupu, me taatau kia tae mai ki a tatou, kia penei, e toru nga wharite: i te tuatahi - e toru nga waahi, i te tuarua - rua, i te toru - kotahi. Na i te whakawhitinga whakamutunga ka kitea e matou te tuatahi kaore i mohiotia, whakakapihia tona uara i te tuarua, te whakawhitinga tuatahi ranei, a ka kitea nga toenga e rua e toe ana.

Ko te tikanga a Cramer

Hei whakahaere i tenei tikanga, he mea tino nui ki te whai i nga pukenga o te whakawhitinga, te tangohanga o nga matrices, me te kaha hoki ki te kimi i nga waahanga. Na, ki te mahi kino koe, kaore ranei koe e mohio ana, me ako koe, ka mahi.

He aha te tino o tenei tikanga, me pehea te hanga kia pai ai te raupapa o nga whakawhitinga Cramer raupapa? He tino ngawari. Me hanga e tatou he raupapa o te tau (tata tonu) nga hua o te pūnaha o te whārite taurangi irarangi. Ki te mahi i tenei, tangohia noa nga tau i mua o nga unknown, ka waiho ki te ripanga i roto i te raupapa kua tuhia ki te punaha. Mena he tohu "-" i mua i te tau, ka tuhia he taura kino. Na, ka kohikohia e matou te kohanga tuatahi o nga huinga kaore i mohiotia, kaore i whakauru i nga tau i muri i nga tohu whaitake (he mea tika kia whakaitihia te whārite ki te puka o te koiora, kei te taha o te taha matau ko te tau anake, me te taha maui ko nga unknown katoa me nga kaute). Na ka hiahia matou ki te hanga i etahi atu matrices, kotahi mo ia tau. Ki te mahi i tenei, whakakapi i te pihanga tuatahi i te tahuri, ia tīwae me nga huānga o te tīwae o nga tau i muri i te tohu tohu. Na reira ka whiwhi tatou i te maha o nga mate ka kitea i o ratau whakatau.

I muri i to maua i nga whakatau, he mea iti noa iho. He matakite tuatahi ta tatou, a he maha nga mea e kii mai ana ki nga rereketanga rereke. Ki te whiwhi i nga rongoā pūnaha, ka wehewehea e matou te kaiwhakahaere o te ripanga i whiwhi ki te kaiwhakahaere o te ripanga tuatahi. Ko te hua hua ko te uara o tetahi o nga taurangi. Waihoki, ka kitea e tatou nga mea e kore e mohiotia.

Ētahi atu tikanga

He maha atu nga tikanga mo te whiwhi i te otinga o nga raupapa o nga wharangi raupapa. Hei tauira, ko te tikanga e kiia nei ko Gauss-Jordan, e whakamahia ana hei kimi i nga rongoā ki te raupapa o nga whārite o te taiao, he mea hono hoki ki te whakamahinga o nga matrices. Kei reira hoki te tikanga Jacobi mo te whakaoti i tetahi pūnaha o te whārite taurangi irarangi. Ko te mea tino pai rawa mo te rorohiko me te whakamahi i te hangarau rorohiko.

Nga take pakihi

Ko te nuinga o nga mea ka puta mai ko te maha o nga whārite he iti iho i te maha o nga taurangi. Na ka taea e taatau ki te korero ko te ahua o te pūnaha kaore e whakaaetia ana (arā, kaore he pakiaka), kaore ano hoki te maha o ona rongoā e tautuhi. Mena kei a tatou te take tuarua, ka tuhia e tatou te otinga whānui o te raupapa o nga wharangi raupapa. Ka uru atu ki te kotahi te taurangi.

Whakamutunga

Na ka tae mai ki te mutunga. Me whakariterite: kua tautuhia e mätau he aha te pünaha me te whänau, ä, kua ako mätou ki te kimi i te otinga whänui o tëtahi pünaha o ngä whärangi aho. I tua atu, i whakaarohia e matou etahi atu whiringa. puta ngā matou i roto i pehea ki te whakaoti ngā pūnaha o whārite rārangi: whakakorenga Gaussian me tikanga o Cramer. I korero matou mo nga take uaua, me etahi atu huarahi rapu rapunga.

Ko te tikanga, he nui rawa atu tenei kaupapa, a, ki te hiahia koe kia pai ake te mohio ki reira, ka tūtohu matou ki te tai atu i nga tuhinga motuhake.